逆矩阵

逆矩阵也是我们在进行矩阵运算时很常用到的一个概念。

相关概念

  • 奇异矩阵:该$n$阶方阵对应的行列式为0.
  • 非奇异矩阵:该$n$阶方阵对应的行列式不为0.
  • 伴随矩阵:将原矩阵中的所有元素换成该元素对应的代数余子式,并转置得到的矩阵,记为$A^* $。

注意,伴随矩阵有一条重要的性质:$AA^* =A^* A=|A|E$,由此可以推出:$A\frac{A^*}{|A|}=E$

通过这个方法,我们可以用Matlab求得一个矩阵的伴随矩阵。

    >> A=[1,2,3;4,3,5;5,2,3]
    A =
         1     2     3
         4     3     5
         5     2     3
    >> inv(A)*det(A)
    ans =
       -1.0000   -0.0000    1.0000
       13.0000  -12.0000    7.0000
       -7.0000    8.0000   -5.0000

可逆矩阵

假设$A$是一个方阵,假设存在一个方阵$B$,满足$AB=BA=E$,那么就称$A$是可逆矩阵,其逆矩阵为$B$。
可逆矩阵有如下几条性质:

  1. 若矩阵$A$是可逆的,则$A$的逆矩阵是唯一的。
  2. 方阵$A$可逆的充分必要条件是$|A|\neq0$,所以计算逆矩阵也可以通过伴随矩阵:
    $$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*$$
  3. 可逆矩阵$A$可以经过有限次初等变换变成单位矩阵。

可以通过初等变换求逆矩阵:$(A|E)\xrightarrow{初等行变换}(E|A^{-1})$

MATLAB有多种求逆矩阵的方法,下面列出三种。

    >> A=[1,2,3;4,3,5;5,2,3]
    A =
         1     2     3
         4     3     5
         5     2     3
    >> inv(A)
    ans =
       -0.2500   -0.0000    0.2500
        3.2500   -3.0000    1.7500
       -1.7500    2.0000   -1.2500
    >> A^-1
    ans =
       -0.2500   -0.0000    0.2500
        3.2500   -3.0000    1.7500
       -1.7500    2.0000   -1.2500
    >> E=eye(3);
    >> E/A
    ans =
       -0.2500   -0.0000    0.2500
        3.2500   -3.0000    1.7500
       -1.7500    2.0000   -1.2500