【基础方法】Traveling Salesman Problem 问题和解决办法

TSP问题其实之前就学过，但是之前介绍的是递归贪心和动规的方法，这次看论文，看到了2-opt算法和蚁群算法，做一个简单的介绍。

TSP问题简单介绍

TSP（Traveling Salesman Problem），即旅行商问题或货郎担问题。假设有一个商人，需要去$n$个城市进行售卖，要求每个城市去且仅去一次，城市与城市之间的距离为确定值，最后返回出发城市，目标是求得一条最优路线，使得商人所走的路程最短。
这一个NP-hard问题，即在确定多项式时间内无法求解的问题。从图论的角度来看，这是在一个有权无向图中，找到一个回路，使得回路的权重值最小。

递归算法

这类问题最简单而且最粗暴的方法就是递归，即求得所有可能的路线，在所有路线中比较求得最短的路线。该算法的时间复杂度为$n!$，随着城市数目的增加，会产生组合爆炸的问题。

贪心算法

贪心算法是在当前情况下做出最好的选择，不考虑以后的结果。该算法求得的是一个局部最优的结果。该算法的算法流程如下：

随机选取一个城市作为出发城市。
选择下一个未到达并和当前城市距离最近的城市。如果还有未到达的城市则重复该步骤。
输出路线。

如果想要降低代码的查询时间，在城市数量不多时，可以使用一个二进制数代替数组，来保存城市是否被访问过。判断第$i$个城市是否到达过的代码如下：

if ((x>>(i-1))&1)==1

动态规划算法

和贪心算法不同，动态规划算法可以看作是从后向前推，动态规划算法可以求得全局最优解。假设一共有四个城市，具体计算公式如下：
$$
\begin{equation} dp[0]\{123\}=min\{C_{01}+dp[1]\{2,3\},C_{02}+dp[2]\{1,3\},C_{03}+dp[3]\{1,2\}\} \end{equation}
$$
其中$C_{01}$为第0个城市和第1个城市之间的距离，$dp[0]{123}$为从第0个城市出发，经过第1、2、3个城市的距离，$dp[3]{}$为第3个城市到第0个城市的距离。
在动态规划算法中，通常使用一个邻接矩阵保存城市之间的距离，并随着不断地迭代不断更新。

两元素优化算法

两元素优化算法，2-optimization（2-opt）算法，也可称为2-exchang算法，最早尤Croes在论文A Method for Solving Traveling-Salesman Problems中提出。这是一种基于交换的启发式算法，具有一定的随机性。该算法的算法流程如下：

选取一个可行解。
选择参数i和k.
保留路径中第i项之前不变，第k项之后不变，将第i项至第k项路径翻转，得到翻转后的路径。
计算翻转后的路线的距离，并和原路线距离比较，较小则保留翻转后的路线。并重复步骤2-3。
达到最大迭代次数时终止。

其中$i$和$k$可用循环随机生成，满足如下条件则结束循环：

if (k-i)>1
    break

通常在小规模的数据上，该算法的运行结果比蚁群算法效率高。

蚁群算法

蚁群算法，Ant Colony Optimization（ACO）算法的原型就是蚁群的工作原理，具体如下：

蚂蚁会在经过的路径留下信息素。
蚂蚁会倾向于选择信息素更高的路径，但是存在一定的错误率。
信息素会以一定的速率消散。

假设从A到B有两条路径一长一短，长路耗费时间长，短路耗费时间短。经过相同的时间，短路上的信息素会比长路浓，从而引得更多的蚂蚁选择这条路，这是一个自催化过程。这也意味着蚂蚁通常会聚集在较短的路径上。该算法的算法流程如下：

初始化参数。对相关的参数进行初始化，如蚁群的规模、信息素重要程度因子、启发因子重要程度因子、信息素挥发因子、信息素释放总量、最大迭代次数和迭代初始次数（1）。
构建解空间。将各个蚂蚁随机地置于不同的目标点，对每个蚂蚁计算其下一个待访问的目标点，直到所有蚂蚁访问完所有的目标点。
更新信息素。计算各个蚂蚁经过的路径长度，记录当前迭代次数中的最优解（最短路径）。同时对各个目标点连接路径上的信息素进行更新。
判断是否终止。若没有终止，清空蚂蚁经过路径的记录表，并返回第二步；否则终止计算，输出最优解。

其中选取下一个目标点的概率计算如下：
$$P_{ij}^k(t)=\begin{equation}
\left \{
\begin{aligned}
\frac{\tau_{ij}^\alpha,\eta_{ij}^\beta}{\sum_{t\in{N_k}},\tau_{it}^\alpha,\eta_{it}^\beta} && if\quad j\in{N_k} \\
0 && otherwise
\end{aligned}
\right.
\end{equation}$$

其中$i$为当前节点序号，$j$为可能选择的下一个节点序号， $\alpha$ 为信息素重要程度因子，$\eta_{ij}=\frac{1}{d_{ij}}$为启发因子,$d_{ij}$为$i$节点和$j$节点之间的距离，$\beta$ 为启发因子的重要程度因子，$N_k$是第$k$只蚂蚁待访问的节点集合。
信息素更新公式如下：
$$\Delta\tau_{ij}^k=\begin{equation}
\left \{
\begin{aligned}
\frac{Q}{C^k} && 走了这条路 \\
0 && 没走这条路
\end{aligned}
\right.
\end{equation}$$

$$
\begin{equation} \tau_{ij}=(1-\rho)\tau_{ij}+\sum_{k=1}^m\Delta\tau_{ij}^k \end{equation}
$$

其中$Q$为信息素释放总量，为一常值，通常设置为1，$C^k$为第$k$只蚂蚁路径的总长度，$m$为蚁群的数量。

精英蚂蚁

在原来的基础上，选择走最短路径的蚂蚁为精英蚂蚁，重复更新它的信息素，具体如下：
$$
\begin{equation} \tau_{ij}=(1-\rho)\tau_{ij}+\sum_{k=1}^m\Delta\tau_{ij}^k+e\Delta\tau_{ij}^{best} \end{equation}
$$

其中$e$为精英蚂蚁信息素更新的系数，通常在0~1之间。