初等变换与初等矩阵

这是在很久之前学的内容了,模模糊糊记得有这种变换,但是详细的不是很记得了,现在看来又学习到了很多。温故而知新嘛。

初等变换

矩阵的初等变换分为初等行变换和初等列变换,列变换和行变换的类型类似,所以这里只提初等行变换了。

  • 对调两行($ r_i \leftrightarrow r_j$)。
  • 以非零常数k乘以某一行的全部元素($kr_i$)。
  • 将某一行上的全部元素的k倍加到另一行上去($kr_i+r_j$)。

通常,我们将初等行变换写在箭头的上方,将初等列变换写在矩阵的下方。经过有限次初等变换得到的新矩阵和原来矩阵是等价的。matlab使用rref()函数来计算矩阵的简化梯形形式。

    >> A=[16 3 2 13;5 10 11 8;9 6 7 12;4 15 14 1];
    >> rref(A)
    ans =
         1     0     0     1
         0     1     0    -3
         0     0     1     3
         0     0     0     0

初等矩阵

初等变换可以用初等矩阵表示,初等矩阵即由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵。

  • 对调两行:
    将相应单位矩阵的两行(列)对换。
  • 以非零常数k诚意某一行的全部元素:
    将非零常数k乘以单位矩阵的对应的行(列)。
  • 将某一行上的全部元素的k倍加到另一行上去:
    将对应的行(列)上的全部元素的k倍加到另一个对应的行(列)。

对于初等行变换,则把初等矩阵左乘原矩阵;对于初等列变换,则把初等矩阵右乘原矩阵。